Общая методика и решение задач оптимального быстродействия

Теория оптимальных систем вначале развивалась как теория систем, оптимальных по быстродействию. Оптимальные по быстродействию системы стали первоочередным объектом исследования из-за их практической важности и поэтому сейчас они исследованы наиболее полно.

Задачи оптимального управления - это вариационные задачи. Но классическое вариационное исчисление имеет ряд недостатков. Во-первых, искомая функция, описывающая управляющее воздействие, должна относиться к классу непрерывных, в то время как в практических задачах управляющие функции часто носят релейный или другой кусочно-непрерывный характер. Во-вторых, координаты объекта также могут как быть ограниченными, так и иметь разрывы, что обязательно нарушит требование непрерывности функции. В-третьих, для некоторых функционалов не удается составить уравнение Эйлера, в то время как точно известно, что решение оптимальной задачи существует.

В 50-х годах 20 века академиком Понтрягиным был предложен новый метод решения задач оптимального управления, названный принципом максимума. Этот метод, являясь дальнейшим развитием вариационного исчисления, в большинстве случаев оказывается наиболее удобным для решения практических задач оптимизации.

Задачу оптимизации по быстродействию можно в общем случае сформулировать следующим образом. Пусть в n-мерном фазовом пространстве заданы точки и . Среди всех допустимых управляющих воздействий , которые переводят систему из положения в положение нужно найти такое, которое минимизирует функционал , а значит обеспечивает переход системы в новое состояние за минимальное время. Для этого вводят дополнительную координату

(1.13)

В результате система (1.3) приобретет размерность n +1 и будет иметь вид

(1.14)

В принципе максимума используются вспомогательные переменные состояния Ψ0, Ψ1… Ψn. Функция, которая объединяет вспомогательные переменные {Ψi} и систему (1.14) называется функцией Гамильтона. Общий вид функции таков:

(1.15)

Система уравнений, отражающая при помощи функции Гамильтона зависимость переменных состояния {xi} и вспомогательных переменных состояния {Ψi}, будет выглядеть следующим образом:

(1.16)

Пусть уравнение объекта управления имеет вид:

(1.17)

По формуле (1.15) составим гамильтониан

(1.18)

Согласно принципу максимума управление будет оптимальным, если функция становится максимальной, то есть

.

Поскольку находится максимум гамильтониана относительно управления , то достаточно максимизировать только те слагаемые, в которые оно входит:

.

На практике управляющее воздействие всегда ограничено величиной

(1.19)

Ясно, что с учетом (1.19) оптимальное управление будет обеспечено при условии максимальных знакопериодичных воздействий

(1.20)

Искомое, оптимальное по быстродействию, управление оказывается кусочно-непрерывным.

Так как объект управления описывается дифференциальным уравнением

,

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Другое по теме:

Система передачи дискретных сообщений на основе решения четырёх задач
Разработать систему передачи дискретных сообщений на основе решения четырёх задач: Задача 1. Выбрать метод модуляции и разработать схему модулятора и демодулятора для передачи данных по каналу ТЧ. Рассчитать вероятность ...

Разработка алгоритма и программы на ассемблере
Для полноценного функционирования электронного средства существует необходимость в решение различных не сложных арифметических и логических функций, но огромное количество таких задач представляет собой очень трудоемкий и дли ...

©  www.techvarious.ru - 2021