Представление САУ в пространстве состояний

Стационарная линейная динамическая САУ в общем случае может быть описана уравнением

,

Где ai, bj (i = 1,2,…n; j = 1,2…m ≤ n) - постоянные коэффициенты.

Такая форма уравнений в физических переменных, которая практиковалась до 60-х годов 20 ст., позволяла инженерам использовать частотные методы исследований, которые хорошо интерпретируются, давала возможность понимать физические свойства системы на всех стадиях проектирования и вносить соответствующие поправки в схему и параметры системы, которая создается. Однако с появлением систем, более сложных, как по структуре, так и по функциональным возможностям, появились новые методы исследования этих систем, а с ними - и новые способы описания их динамики, которые можно объединить под общим названием методы пространства состояний. При использовагии этих методов состояния динамической системы характеризуются переменными x1, x2 … xn, которые изменяются под влиянием одного или в общем случае нескольких управляющих воздействий u1, u2 … um.

Если набор переменных полностью характеризует состояние системы в любой момент времени при известных управляющих воздействиях и существует система дифференциальных уравнений первого порядка вида

,(1.1)

в которой функции fi дифференцируются, то переменные {xi} называются переменными состояния. В общем случае {xi} - абстрактные переменные, которые должны однозначно выражаться через физические переменные системы:

(1.2)

Обычно (1.1) называют системой уравнений состояния, а (1.2) называют, соответственно, системой уравнений выхода.

Под нормальной системой дифференциальных уравнений понимают систему дифференциальных уравнений, решенных относительно первой производной:

(1.3)

Если f1, f2 … fn - линейные функции, то стационарная система переменных состояний примет вид:

,(1.4)

гдеaij, bil - постоянные коэффициенты.

Уравнения выхода будут иметь следующий вид:

(1.5)

В матричной форме системы (1.4) и (1.5) будут выглядеть следующим образом:

(1.6)

Объект управления описывается дифференциальным уравнением вида

(1.7)

Это значит, что описываемая этим уравнением система относится к линейным системам с одним управляющим входом и одним выходом, передаточная функция которой содержит лишь полюса. В этом случае переменные состояния вводятся таким образом, чтобы быть равными выходной координате y и ее производным вплоть до (n-1) включительно (в данном случае порядок уравнения второй):

(1.8)

Теперь из дифференциального уравнения (1.7), которым описывается объект управления, старшую производную можно выразить при помощи переменных состояния {xi}:

(1.9)

Продифференцировав левые и правые части уравнений системы (1.8) по t и учитывая (1.9), можно получить систему уравнений состояния в нормальной форме:

(1.10)

Уравнение выхода будет иметь вид:

(1.11)

Если выразить систему уравнений состояния (1.10) и уравнение выхода (1.11) в матричной форме, представленной в виде (1.6), то в результате получим систему вида

(1.12)

Другое по теме:

Трехполюсный контактор
Электрический аппарат (ЭА) - это электротехническое устройство, которое используется для включения, отключения электрических цепей контроля, измерения, защиты и управления установок, предназначенных для передачи, преобразо ...

Разработка и исследование в среде Multisim 10 формирователя электрического сигнала трапецеидальной формы
Целью курсового проекта является овладение навыками проектирования различных электронных схем, используемых в аппаратуре вычислительной техники и развитие навыков работы с технической и справочной литературой. В курсовом п ...

©  www.techvarious.ru - 2021