Влияние погрешностей задания отсчетов функций на точность дифференцирования

При практической реализации численных алгоритмов дифференцирования на ЭВМ принципиальным является вопрос, связанный с устойчивостью разрабатываемых алгоритмов по отношению к методическим погрешностям и погрешностям задания отсчетов дифференцируемых функций. Последний вид погрешностей связан, например, с ошибками округления или измерения, которые необходимо учитывать при решении задачи оценивания.

Покажем, что математический аппарат N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова в большинстве практически важных случаев является более устойчивым по отношению к случайным ошибкам задания отсчетов дифференцируемых функций по сравнению с традиционными методами, предполагающими использование конечно-разностных схем.

Пусть φ(t) - произвольная функция, методическая погрешность N-кратного дифференцирования которой не превышает величины . Считаем также заданным вектор отсчетов где - вектор-столбец отсчетов дифференцируемой функции φ(t); - вектор-столбец ошибок задания отсчетов исходной функции φ(t) на отрезке [-Т, Т]. Принимаем, что ошибка является векторной случайной величиной, имеющей нулевое математическое ожидание и соответствующую корреляционную матрицу где - дисперсия.

Учитывая, что модель отсчетов предполагает наличие гауссовских ошибок, а формулы N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова соответствуют линейным преобразованиям над отсчетами исходной функции, корреляционную матрицу ошибок вычисления значений компонент вектора производных можно представить в следующем виде [2]:

(2.50)

где - матрица дифференцирования.

Если матрица является диагональной, причем

то элементы матрицы можно определить следующим образом:

(2.51)

для четных ;

(2.52)

для нечетных .

Анализ выражений (2.51) и (2.52) показывает, что степень устойчивости результатов дифференцирования к случайным ошибкам задания отсчетов функции φ(t) в основном определяется величиной Поскольку метод N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова работоспособен при достаточно больших значениях Δt (для функций с «хорошими» спектральными свойствами), а традиционные (конечно-разностные) методы - лишь при малых значениях , то можно утверждать, что в большинстве практически важных случаев, встречающихся при решении задач оценивания, может быть достигнута более высокая устойчивость к указанным ошибкам. Очевидно, что чем «лучше» спектральные свойства функции φ(t) (уже ее спектр), тем больше Δt, и, следовательно, меньшие значения дисперсии

Перейти на страницу: 1 2 3

Другое по теме:

Расчет радиолинии с заданными параметрами
Дана радиолиния со следующими параметрами: Рис.1 Исходная трасса. · радиолиния состоит из передающей антенны на мачте высотой h1 на холме высотой H1 (рис.1), приёмной антенны, расположенной на высо ...

Разработка и исследование компенсационного стабилизатора с импульсным регулированием и входным фильтром
Стабилизатор напряжения - это устройство, которое поддерживает на определенном уровне с определенной погрешностью напряжение у себя на выходе при значительных колебаниях напряжения на входе. Почти любая э ...

©  www.techvarious.ru - 2020