Дифференцирование финитных функций

Обратимся теперь к наиболее распространенному в практике случаю, когда дифференцируемые функции являются финитными на временной оси, и, следовательно, не принадлежат классу ФФС.

Анализ приведенных ранее аналитических зависимостей показывает, что погрешность N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова определяется уровнями усечения функции и ее спектра, а также скоростями их убывания соответственно в пространственной (временной) и частотной областях. Для функций, имеющих высокую скорость убывания в указанных областях, рассмотренный математический аппарат позволяет обеспечить требуемую точность N-кратного дифференцирования на заданном отрезке [-Т, Т], если уровни усечения не превышают некоторых заранее установленных значений. Рассмотрим возможность применения данного аппарата для вычисления производных соответствующего порядка от финитных функций имеющих «плохие» спектральные свойства и большие уровни усечения в пространственной (временной) области.

Первый подход к дифференцированию финитных функций, основанный на сплайн-продолжениях, состоит в следующем. Пусть - произвольная финитная функция (рис. 2.1), у которой производная непрерывна, а кусочно-непрерывна на отрезке [-Т, Т]. Используя операцию сплайн-продолжения, перейдем от функции заданной на отрезке [-Т, Т], к новой функции , заданной на всей вещественной оси (рис. 2.2):

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

(2.44)

где φ1(t) и φ2(t) - вспомогательные функции, у которых производные и непрерывны при и соответственно, и, кроме того, выполняются равенства (условия «стыковки»)

(2.45)

Таким образом, из исходной финитной функции получили сплайн-продолженную функцию φ(t), заданную на интервале (-∞, ∞), состоящем из основного информационного отрезка [-Т, Т] и двух вспомогательных неинформационных полуоткрытых интервалов и .

Далее, вводя оператор усечения в пространственной (временной) области перейдем от φ(t) к финитной функции , заданной на отрезке (рис. 2.3). При этом потребуем выполнения следующего условия:

(2.46)

где - уровни усечения функции φ(t) и ее производных , которые выбираются с учетом полученных в предыдущих подразделах аналитических зависимостей исходя из условия минимизации результирующей погрешности N-кратного дифференцирования (N < M).

Рисунок 2.3

Очевидно, что периодически (с периодом ) продолженная на всю числовую ось функция остается непрерывной на этой оси вместе со своими производными до (М - 1)-го порядка включительно. Вспомогательные функции φ1(t) и φ2(t), удовлетворяющие условиям (2.45), (2.46), могут быть достаточно произвольного вида. Однако полагаем, что независимо от вида финитной функции в качестве φ1(t) и φ2(t) используются функции, интегрируемые в квадрате, т.е. и . Каждая из функций φ1(t) и φ2(t) должна удовлетворять 2М условиям (2.45), (2.46) и поэтому имеет 2М подлежащих определению коэффициентов.

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Другое по теме:

Техническое обслуживание и ремонт кабельных линий
Как известно основа надёжного электроснабжения потребителей электрической энергией - безаварийная работа кабельных линий. Бесперебойное электроснабжение потребителей городских сетей и промышленных предприятий зависит от принят ...

Система измерения давления в нефтепроводе
В связи с постоянным увеличением добычи нефти растет сеть магистральных нефтепроводов - самого экономичного вида транспорта нефти. Магистральный нефтепровод - это крупное сооружение, простирающееся обычно на сотни и даже тыся ...

©  www.techvarious.ru - 2020