Рассмотрим новый метод N-кратного дифференцирования, базирующийся на применении ряда Котельникова, который по сравнению с известными методами в большой степени ориентирован на решение конкретных задач оценивания.
Пусть задана функция f(t), принадлежащая к классу , для которой справедливо разложение в виде ряда Котельникова (2.3). Рассмотрим производную N-го порядка f(N)(t) от функции f(t), представимой рядом (2.3). Относительно функции f(N)(t) (
) можно утверждать, что она, так же как и функция f(t), может быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, и для нее справедливо представление
(2.19)
где
Таким образом, располагая совокупностью отсчетов , в соответствии с (2.19) можно однозначно восстановить всю функцию
.
Поставим задачу найти точные аналитические выражения для отсчетов , позволяющие по заданной совокупности
находить искомую совокупность
, а на ее основе восстановить функцию
.
Для случая произвольного N применительно к функциям , заданным бесконечной совокупностью отсчетов, можно воспользоваться следующим результатом.
Для класса ф ункций f(t) с финитным спектром производная N-гo порядка f(N)(t) в отсчетных точках вычисляется по таким формулам:
для четных
(2.20)
для нечетных
(2.21)
([х] - целая часть числа х).
Вывод данных формул (опущен в силу громоздкости) базируется на использовании формулы Лейбница для N-кратного дифференцирования произведения двух функций и раскрытии неопределенностей типа 0/0, появляющихся при переходе к отсчетным точкам.
Остановимся на вопросе дифференцирования функции fK(t), которая задается в виде конечного ряда Котельникова и интерполирует исходную функцию. Очевидно, что спектр функции fK(t) сосредоточен в интервале (-Ω, Ω), и, следовательно,
. Производная N-гo порядка от функции
в отсчетных точках вычисляется по формулам:
для четных
(2.22)
для нечетных
(2.23)
Формулы (2.22), (2.23) непосредственно следуют из (2.20), (2.21), если в последних перейти от бесконечных сумм по индексу i к конечным суммам.
Формулы (2.22) и (2.23) также допускают векторно-матричную форму записи:
(2.24)
где
(2.25)
для четных
Другое по теме:
Физика и биология мобильного телефона
Мобильные
радиотелефоны (MPT) очень быстро внедряются в нашу повседневную жизнь. Миллионы
людей ежедневно пользуются МРТ, которые становятся непременным атрибутом
современного человека. Все чаще среди разговаривающих по мобил ...
Устройства приема и обработки сигналов
В качестве возможного прототипа рассмотрим схемы, выполненные
на микросхеме К174ХА2, предназначенной для использования в радиоприемниках с АМ
[4], в частности, схема приемника, обеспечивающая чувствительность 3-5 мкВ
(выше за ...