Аппроксимация функций с финитным спектром

Рассмотрим теперь возможность аппроксимации с заданной точностью ε > 0 на отрезке [0, T] функции при помощи конечного числа членов ряда Котельникова (2.3). Очевидно, что такая возможность существует, поскольку ряд (2.3) сходится равномерно в каждой ограниченной области. Таким образом, для каждого отрезка [0, T] и заданного ε > 0 можно указать такие числа i и т, что при 0 ≤ t ≤ T будет выполняться неравенство

(2.9)

Однако длительность mΔt интервала времени, на котором в данном случае берутся отсчеты, может значительно превосходить величину Т. Поэтому возникает вопрос о том, с какой точностью приближается функция , задаваемая рядом (2.3), если воспользоваться лишь некоторым фиксированным числом членов этого ряда.

Рассмотрим частную сумму ряда (2.3) при нечетном числе отсчетов, равном 2K + 1:

(2.10)

Введем невязку

(2.11)

Из (2.11) следует, что отбрасывание «хвостов» ряда Котельникова приводит к среднеквадратической ошибке аппроксимации ФФС. Эта ошибка равна энергии «хвостов».

Для оценки погрешности, возникающей при замене ряда Котельникова частной суммой вида (2.10), целесообразно ввести определенные предположения относительно скорости убывания функции f(t) при |t| → ∞.

Предположим, что

(2.12)

(для удобства вместо [0, Т] рассматривается отрезок [-T/2, T/2]).

Используя результаты работ [4, 12], не сложно показать, что ограничение (2.12) приводит к следующей оценке

(2.13)

Анализ функции εK(t) показывает, что в точках она обращается в нуль, а ее максимумы растут по мере приближения к краям отрезка [-KΔt, KΔt].

Приведенные в данном подразделе результаты составляют основу аппроксимации функций, которые встречаются в задачах оценивания и могут быть отнесены к классу ФФС. Однако на практике у реальных функций спектр не может быть финитным. Таким образом, для построения адекватных моделей необходимо выяснить влияние отбрасываемых «хвостов» спектра функции на качество ее аппроксимаций.

Другое по теме:

Разработка и исследование компенсационного стабилизатора с импульсным регулированием и входным фильтром
Стабилизатор напряжения - это устройство, которое поддерживает на определенном уровне с определенной погрешностью напряжение у себя на выходе при значительных колебаниях напряжения на входе. Почти любая э ...

Распространение волн в световодах
Падение плоской волны на границу раздела двух сред Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Индексы i, r, t - относятся к падающей, отраженной и прошедшей волн ...

©  www.techvarious.ru - 2020