Интерполяция функций с финитным спектром

В данном разделе в качестве моделей полезных сигналов используются функции с финитным спектром (ФФС) [29], для которых в соответствии с известной теоремой отсчетов справедливо представление в виде ряда Котельникова. На базе ФФС развивается метод косвенного оценивания локальных характеристик полезного сигнала, который в отличие от традиционных подходов в меньшей степени чувствителен к случайным ошибкам измерений и может быть применен для вычисления соответствующей производной в любой точке фиксированного интервала наблюдения.

Следует отметить, что необходимость оценивания локальных характеристик до N-гo порядка включительно возникает довольно часто при решении широкого круга прикладных задач. При этом на практике, как правило, используются достаточно простые в вычислительном плане косвенные методы оценивания, основанные на численном дифференцировании измеренных сигналов с использованием разностных шаблонов. Среди данных методов наиболее распространены методы скользящего дифференцирования [26, 27], предполагающие разложение дифференцируемой функции в соответствующий конечный ряд Тейлора и вычисление искомой производной только для одной (средней) точки выбранного интервала измерений. Основной недостаток указанных методов состоит в следующем. Для уменьшения остаточной (методической) погрешности требуется либо уменьшать шаг дискретизации по времени либо повышать порядок используемых разностей. Но и в том, и в другом случаях резко возрастают погрешности, вызываемые случайными ошибками измерений. Как показано в [26], численные методы, основанные на разностных представлениях, относятся к классу некорректных, поскольку теряют устойчивость при наличии случайных ошибок, которые неизбежно сопутствуют процессу измерений.

Метод N-кратного дифференцирования ФФС, предлагаемый в данном разделе, позволяет разрабатывать алгоритмы косвенного оценивания, которые в отличие от традиционных являются корректными в вычислительном плане.

Ниже обсуждаются отдельные результаты [4, 5, 12], касающиеся интерполяции и аппроксимации ФФС и функций с нефинитным спектром, которые будут использованы нами при изложении основного материала.

Пусть функция f(t), интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, представима в виде

(2.1)

где F(iω) - спектральная плотность функции f(t),

(2.2)

Согласно известной теореме Винера-Пэли-Шварца, для того чтобы f(t) была функцией с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iω), необходимо и достаточно, чтобы f(t) могла быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси. Следуя [29], обозначим через класс функций f(t) с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iω), для которого справедливо представление (2.1).

Поскольку f(t) может быть доопределена как целая функция конечной степени, то можно воспользоваться следующей интерполяционной формулой Котельникова:

(2.3)

где - шаг между отсчетами fk = f(kΔt) функции f(t); sincx = sinx/x.

Формула (2.3) показывает, что для восстановления ФФС f(t) на всей вещественной оси необходимо использовать лишь значения этой функции fk, называемые отсчетами, которые выбираются через равные интервалы . В разложении (2.3) можно воспользоваться отсчетами , взятыми в периодической последовательности точек при любом фиксированном t0, которое указывает лишь начало отсчета переменной t, и при любом . Последнее утверждение следует из того, что если спектр f(t) сосредоточен в интервале (-2πFmax, 2πFmax) = (-Ω, Ω), то он подавно сосредоточен в большем интервале , где . Если функция f(t) принадлежит пространству , причем интервал (-Ω, Ω) - это наименьший интервал, вне которого спектр F(iω) тождественно равен нулю, то величина Δt = π/Ω = l/(2Fmax) указывает наибольший возможный интервал между отсчетами, при котором представление (2.3) еще справедливо.

Перейти на страницу: 1 2 3

Другое по теме:

Однокаскадные усилители
Исходные данные для расчета выбираются в соответствии с вариантом и содержат вид транзистора (ПТ - полевой, БП - биполярный транзисторы), схему включения транзистора (ОЭ, ОИ, ОБ и т.п.), положение рабочей точки транзистора, н ...

Разработка принципиальной электрической схемы AM передатчика и расчет ВЧ генератора на транзисторе
Радиоприёмными устройствами называются радиотехнические аппараты, служащие для генерирования, усиления по мощности и модуляции высокочастотных колебаний, подводимых к антенне и излучаемых в пространство. Тр ...

©  www.techvarious.ru - 2019